Alle goede dingen bestaan in drieën. Kort nadat wiskundigen een hardnekkig probleem oplosten voor de getallen 33 en 42, hebben ze nu een oplossing gevonden voor een nog veel lastiger probleem rond het getal 3.
Andrew Booker van de Britse Universiteit van Bristol en Andrew Sutherland van het Amerikaanse instituut MIT hebben een reusachtige oplossing gevonden voor een wiskundig probleem dat bekend staat als de som van drie derde machten.
Het probleem draait om de vraag of je een bepaald geheel getal kunt schrijven als som van drie derde machten van gehele getallen. Voor het getal 3 waren er al twee oplossingen bekend. Allebei bestaan ze uit kleine getallen: 13 + 13 + 13 en 43 + 43 + (-5)3.
Al decennialang speuren wiskundigen naar een derde oplossing. Booker en Sutherland hebben er nu één gevonden:
569.936.821.221.962.380.7203 + (-569.936.821.113.563.493.509)3 + (-472.715.493.453.327.032)3 = 3
Eerder deze maand vond het duo ook een oplossing voor het getal 42. Dat was het laatste onopgeloste getal onder de 100.
456 jaar
Booker en Sutherland vonden deze oplossingen door samen te werken met softwarebedrijf Charity Engine. Ze lieten een algoritme draaien op de inactieve computers van een half miljoen vrijwilligers.
Bij het getal 3 kwam de verwerkingstijd overeen met één computerprocessor die 4 miljoen uur achter elkaar draait – meer dan 456 jaar.
Als een getal kan worden uitgedrukt als som van drie derde machten van gehele getallen, zijn er altijd oneindig veel mogelijke oplossingen. ‘Er moeten dus ook oneindig veel oplossingen zijn voor het getal 3’, zegt Booker. ‘Wij hebben nu de derde gevonden.’
Groeisnelheid
Er is een reden dat de derde oplossing voor 3 zo moeilijk te vinden was. ‘Als je de oplossingen van een bepaald getal bekijkt, lijken die willekeurig te zijn’, zegt Booker. ‘Maar stel dat je een heleboel oplossingen van zo’n getal bekijkt. In de praktijk kan dat niet, omdat de getallen al gauw zo enorm groot worden. Maar we denken dat als het zou kunnen, je een soort algemene trend zou vinden, namelijk dat het aantal cijfers per oplossing ongeveer gelijk opgaat met het aantal oplossingen dat je bekijkt.’ Met andere woorden: de twintigste oplossing zal ongeveer twee keer zoveel cijfers bevatten als de tiende oplossing.
Getallen waarbij deze ‘groeisnelheid’ laag is, hebben weinig oplossingen met een klein aantal cijfers. De groeisnelheid blijkt extreem laag voor het getal 3. Alleen 114, momenteel het kleinste onopgeloste getal, heeft een nog lagere groeisnelheid.
Het duo vond terloops ook een oplossing voor het getal 906. Van bepaalde getallen, zoals 4, 5 en 13, weten we dat ze niet kunnen worden uitgedrukt als som van drie derde machten van gehele getallen. Er zijn nog negen onopgeloste getallen onder de 1000.
