Na schaken, go en het raadselachtige vouwen van eiwitten, waagt het Britse kunstmatige-intelligentiebedrijf DeepMind zich nu aan de wiskunde. Samen met mensen van vlees en bloed pakte Deepmind twee wiskundige problemen aan.
Computersimulaties en kunstmatige intelligentie (AI) worden al langer gebruikt in de wiskunde. Ze worden bijvoorbeeld ingezet om grote berekeningen uit te voeren of een enorme hoeveelheid voorbeelden door te ploegen, op zoek naar eentje die niet klopt met een bepaald wiskundig vermoeden. Ook produceren zulke systemen voorbeelden of visualisaties van wiskundige objecten. Dat helpt wiskundigen om intuïtie te ontwikkelen voor deze objecten en om te zoeken naar patronen.
Wat kunstmatig intelligente machines nog niet konden, was zelf wiskundige vermoedens bedenken en theorieën bewijzen. Omdat het menselijke intuïtie en creativiteit vereist, was dat vooralsnog voorbehouden aan mensen. Daar brengt DeepMind nu verandering in door te helpen met zoeken naar patronen in grote hoeveelheden data.
De samenwerking tussen mens en machine blijkt een succesvolle strategie. In een publicatie in Nature beschrijven wiskundigen en DeepMind-medewerkers hoe ze een grote stap hebben gezet in het oplossen van een jarenoud vraagstuk in de representatietheorie. Daarnaast ontdekten ze in de knopentheorie een nieuw en interessant verband.
Patronen en knopen
‘Het is verrassend dat het werkt’, zegt wiskundige Christian Stump van de Duitse Ruhr-universiteit in Bochum, die niet bij het project betrokken was. ‘Ik denk dat wiskundigen ook zonder de AI tot deze resultaten hadden kunnen komen, maar het is indrukwekkend dat het gelukt is met DeepMind. En het heeft serieuze wiskundige inzichten opgeleverd die nog niet bekend waren.’ Zonder AI had het misschien nog jaren of decennia geduurd voordat iemand deze verbanden had ontdekt.
De meerwaarde is dat AI goed is in het herkennen van patronen, vertelt wiskundige Marc Lackenby van de universiteit van Oxford. ‘Je kunt een AI bijvoorbeeld met een grote hoeveelheid foto’s van verkeersborden en auto’s trainen om die twee van elkaar te onderscheiden. De computer leert welke kenmerken verkeersborden gemeen hebben en hoe die kenmerken gebruikt kunnen worden om verkeersborden te onderscheiden van auto’s.’
Wiskunde gaat ook vaak over patronen en verbanden. ‘Daarom leek het ons interessant om AI te laten zoeken naar verbanden tussen wiskundige objecten’, vervolg Lackenby. In samenwerking met een collega’s en medewerkers van DeepMind richtte hij zich op zijn eigen vakgebied: knopentheorie.
Bij knopen denk je misschien aan een padvindersknoop in een touw of aan een gestrikte schoenveter. Wiskundige knopen zijn iets anders, omdat ze geen losse eindjes bevatten. De meest eenvoudige wiskundige knoop is een gesloten cirkel, zoals een elastiekje. Iets complexer is een touw waar je een knoop in legt, waarna je de eindjes aan elkaar vast maakt.
Algebraïsch en geometrisch
‘Je kunt allerlei eigenschappen van knopen beschrijven’, zegt Lackenby. ‘Die eigenschappen kun je in twee groepen indelen.’ De eerste groep bevat algebraïsche eigenschappen, zoals polynomen die je misschien nog kent van de middelbare school (y = a+bx+cx2, etc.). Daarnaast zijn er geometrische eigenschappen, bijvoorbeeld het volume of de kortste afstand tussen twee punten op de knoop.
‘De algebraïsche en de geometrische kant van knopen zijn twee redelijk gescheiden onderzoeksvelden’, vertelt Lackenby. ‘We wilden onderzoeken of er verbanden tussen zijn. Daarom keken we of de AI de waarde van een algebraïsche eigenschap van knopen kon voorspellen door enkel naar geometrische eigenschappen te kijken. Tot mijn verrassing lukte dat.’
Om verbanden te kunnen vinden, voerden de wiskundigen DeepMind informatie over tientallen geometrische eigenschappen van miljoenen verschillende knopen. De AI ontdekte meerdere verbanden, waarvan een aantal niet interessant of zelfs fout waren. Er waren menselijke wiskundigen nodig om uit alle resultaten de interessante verbanden te filteren.
Een interessante vondst was dat de AI op basis van de geometrische eigenschappen een bepaalde algebraïsche eigenschap kon voorspellen. ‘Dat duidde op een verband tussen de algebraïsche en geometrische eigenschappen dat we nog niet kenden’, vertelt Lackenby. Maar met die ontdekking waren ze er nog niet. ‘Toen moesten we achterhalen wat het verband precies is en we moesten op zoek naar een manier om te bewijzen dat het klopt.’
De focus van AI
Hiervoor kwam een AI-techniek genaamd saliency plots (opvallendheidsplots) van pas. Die techniek vertelt je waar een AI op focust. Als een AI het onderscheidt leert tussen verkeersborden en auto’s, vertelt deze techniek je op welk deel van de foto hij zich focust om te achterhalen of het een verkeersbord of een auto is.
Lackenby: ‘Wij gebruikten saliency plots om te achterhalen naar welke geometrische eigenschappen DeepMind keek om die ene algebraïsche eigenschap te voorspellen.’ In eerst instantie dachten de wiskundigen dat het om drie geometrische eigenschappen ging. Op basis daarvan formuleerden ze een wiskundige stelling die ze probeerden te bewijzen. Dat kostte veel tijd en ze kregen het bewijs maar niet rond. Uiteindelijk bleken de vierde en de vijfde geometrische eigenschap die de plots aanwezen ook een rol te spelen. Dat was essentieel om de goede wiskundige stelling te formuleren. Lackenby: ‘Als we vanaf het begin de saliency plots van de machine vertrouwd hadden, dan had ons dat veel tijd gescheeld.’
Die nieuwe stelling kregen ze wel bewezen. En zo leverde de samenwerking met DeepMind een splinternieuwe, interessante wiskundige theorie op die de algebraïsche en geometrische eigenschappen van knopen verbindt.
Veelbelovend hulpmiddel
Naast dit resultaat in de knopentheorie, ontwikkelde DeepMind in samenwerking met Geordie Williamson van de universiteit van Sydney ook een veelbelovende wiskundige stelling op het gebied van de representatietheorie. Deze stelling moet nog bewezen worden, maar helpt mogelijk met het oplossen van een vraagstuk waar wiskundigen al decennialang mee worstelen.
Lackenby vond het fascinerend om samen te werken met een AI en zal er zeker mee doorgaan. ‘Ik denk niet dat AI’s wiskundigen overbodig zullen maken. Wel kan het in verschillende takken van de wiskunde een handig hulpmiddel zijn. Maar het heeft niet overal een toegevoegde waarde. Het werkt alleen als je veel data kan produceren voor de AI. Dat is bij sommige wiskundige vraagstukken niet mogelijk.’
Ook Christian Stump denkt niet dat wiskundigen zonder werk komen te zitten door AI’s. ‘Een belangrijk onderdeel van wiskunde is begrijpen welke vragen interessant zijn. Een AI kan heel veel stellingen bedenken die waar zijn, maar die toch niet interessant zijn, bijvoorbeeld omdat ze logisch volgen uit andere stellingen. Er zullen mensen nodig blijven over te herkennen welke stellingen interessant zijn en ons kunnen helpen om dingen beter te begrijpen. Een AI kan je wel de juiste antwoorden geven, maar niet de juiste vragen.’
