In januari werd een priemgetal bestaande uit 22 miljoen cijfers ontdekt. Het grootste tot nu toe. Het tweede priemgetallennieuwtje van dit jaar liet niet lang op zich wachten: begin maart bleek dat regelmaat ontdekt is in de priemen. Waarom halen deze malle getallen keer op keer de voorpagina?
1. Wat zijn priemgetallen?
Wanneer het bestaan van priemgetallen precies is ontdekt, is niet met zekerheid te zeggen. Mogelijk wisten de Oude Egyptenaren en Babyloniërs al van het bestaan. Wel weten we zeker dat de Oude Grieken bekend waren met de bijzondere cijfers omdat Pythagoras ze rond 500 voor Christus definieerde als getallen die alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1. Deze definitie gebruiken we nu nog steeds.
Priemgetallen zijn dus natuurlijke getallen, groter dan 1, die alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1. Volgens deze definitie is 2 het kleinste priemgetal en daarna volgt 3. 4 is niet alleen deelbaar door zichzelf en 1, maar ook door 2, dus het is geen priemgetal. Als we op deze manier de getallenlijn doorwerken vinden we de volgende priemgetallen onder de 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (reken maar na).
Priemgetallen hebben naast hun beperkte deelbaarheid nog een andere bijzondere eigenschap. Het blijkt namelijk dat alle andere getallen te vinden zijn door priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen. Ze vormen dus de bouwstenen van de getallenlijn. Neem als voorbeeld het getal 42. Dit is geen priemgetal, maar kan geschreven worden als 2 x 3 x 7, en dat zijn wel allemaal priemen. Deze bewerking kan op alle niet-priemgetallen toegepast worden en heet de priemontbinding.
2. Hoeveel priemgetallen zijn er?
Er bestaan oneindig veel priemgetallen. Maar hoe kunnen we dit weten? Het is namelijk onmogelijk om alle getallen van 1 tot oneindig af te gaan om te kijken waar je ze door kunt delen. Gelukkig bedacht Euclides al rond 300 voor Christus een bewijs waarmee hij aantoonde dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
Het bewijs gaat als volgt: Stel dat we aannemen dat er eindig veel priemgetallen zijn. Dan is er dus een grootst priemgetal (laten we hem N noemen). Nu vermenigvuldigen we alle priemgetallen tot en met N met elkaar. Dit levert ons een nieuw getal op, M, dat geschreven kan worden als M = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x … x N (de puntjes staan voor alle andere priemgetallen tussen 17 en N). M is deelbaar door al deze priemgetallen en is daarom zelf geen priem. Wanneer we echter 1 optellen bij M, hebben we een getal dat niet deelbaar is door de priemen 2 tot en met N. Dat betekent dat M+1 of zelf een priemgetal is, of te ontbinden is in priemgetallen groter dan N. Er is dus sowieso een priem te vinden dat groter is dan N, terwijl we hadden aangenomen dat N het de grootste priem was! Daarom moeten er wel oneindig veel priemgetallen bestaan.
Niet alleen Euclides toonde de oneindigheid van priemgetallen aan. Leonhard Euler (begin 18e eeuw), Christian Goldbach (1730), Ernst Eduard Kummer (1878) en Filip Saidak (2006), kwamen eveneens met krachtige bewijzen. Dat iets al bewezen is, weerhoudt wiskundigen er kennelijk niet van het zelf nog eens (beter) te doen.
3. Wat kun je met priemgetallen?
Harstikke leuk die priemgetallen, maar wat kunnen we ermee in ons dagelijks leven? Lange tijd dachten wiskundigen dat de getallen tot de zuivere wiskunde behoorden en dat er dus geen praktische toepassingen voor bestonden buiten de wiskunde. Deze theorie is achterhaald. Inmiddels worden ze niet meer alleen gebruikt om middelbare scholieren lastig te vallen.
De meest spannende toepassing van priemgetallen is RSA-codering, ontworpen in 1977 door Ron Rivest, Adi Shamir en Leonard Adleman van het Massachusetts Institute of Technology (MIT). Met deze codering worden geheime berichten versleuteld. Er wordt gebruik gemaakt van de priemontbinding van (grote) getallen. Elk willekeurig (niet-priem)getal kan namelijk maar op één manier als product van priemgetallen geschreven worden. En er bestaat geen snelle manier om deze priemen te vinden. Zelfs met zware computerkracht is het kraken van een priem-versleutelde boodschap daarom bijna onmogelijk. Twee priemgetallen met elkaar vermenigvuldigen om een uniek product te krijgen is dus eenvoudig, maar terugredeneren is zo lastig dat het een goede beveiligingsmethode is voor onder andere bankoverschrijvingen.
4. Hoe wordt er gezocht naar priemgetallen?
De wetenschap is zo gefascineerd door priemgetallen dat er computerprogramma’s geschreven zijn die zoeken naar steeds grotere priemen. Op dit moment voert een priemgetal dat bestaat uit maar liefst 22 miljoen cijfers de ranglijsten aan. Om te ontdekken of een getal een priem is moet naar alle voorgaande getallen gekeken worden om zeker te zijn dat het alleen door zichzelf en 1 deelbaar is. Daar is behoorlijk wat tijd en rekenkracht en tijd voor nodig.
Het nieuwste priemgetal is ontdekt door Curtis Cooper die mee deed met GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Bij dit project stellen vrijwilligers de niet gebruikte capaciteit van hun computer beschikbaar voor berekeningen (doe je ook mee?). GIMPS levert steeds spaarzamer resultaten op omdat de priemen steeds dunner gezaaid zijn naarmate de grootte van de getallen toeneemt. Het duurt waarschijnlijk jaren totdat er een nieuw getal ontdekt wordt.
De priemgetallen die met GIMPS gevonden worden zijn Mersenne-getallen (naar de Frans monnik en wiskundige Marin Mersenne). Deze getallen hebben de vorm: 2P-1, waarbij P een priem is. Bijvoorbeeld: 23 – 1 = 2x2x2 – 1 = 7. Dit is momenteel de meest efficiënte methode om nieuwe priemgetallen te vinden.
5. Wat weten we nog niet over priemgetallen?
Ondanks dat priemgetallen al sinds de oudheid bestudeerd worden, zijn er nog veel onbeantwoorde vragen. Een voorbeeld is het Vermoeden van Goldbach. Dat stelt dat elk even getal groter dan 2 geschreven kan worden als de som van twee priemgetallen. Dit klinkt eenvoudig, maar bewijzen dat dit voor alle even getallen geldt blijkt lastig.
Een ander raadsel vormen de priemtweelingen. Dit zijn paren van priemgetallen die 2 van elkaar verschillen, zoals 5 & 7, 11 & 13 en 1997 & 1999. De vraag is of er oneindig veel van deze tweelingen bestaan of dat de reeks eindig is. Dit is niet het enige vraagstuk over de eindigheid van bepaalde priemgetallen. Het is ook nog onduidelijk of er oneindig veel Fibonacci-, Fermat– en Mersenne-priemgetallen bestaan.
Voor het oplossen van sommige van deze problemen worden flinke geldprijzen uitgeloofd. Een bètastudie is dus geen onverstandige carrièrekeus. Al is het maar om meer te begrijpen van deze mysterieuze getallen waarover Paul Erdös ooit zei: ‘God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbers.’ (God dobbelt misschien niet met het heelal, maar er is iets vreemds aan de hand met de priemgetallen.)
Altijd op de hoogte blijven van het laatste wetenschapsnieuws? Meld je nu aan voor de New Scientist nieuwsbrief.
Lees verder: