Voor 2022 brengt New Scientist een bijzondere scheurkalender uit, geheel gewijd aan de wonderlijke wereld van de wiskunde. Een voorproefje!
De redactie van New Scientist maakt al jarenlang de Wetenschapskalender en de Young Scientist Wetenschapskalender. Dit jaar is daar een speciale scheurkalender bijgekomen: in samenwerking met wiskundetijdschrift Pythagoras maakten we ook een heuse Wiskundekalender.
Benieuwd wat daar zoal in staat? Dit zijn enkele mathematische feitjes, raadsels en puzzels uit de kalenderblaadjes van begin januari.
Pleenrose
De vrouw van Nobelprijswinnaar Roger Penrose liep in 1997 door de supermarkt, toen ze opeens iets zag wat haar bekend voorkwam. Het leidde tot een rechtszaak…
Wat had ze gezien?
Een van de vele verdiensten van Roger Penrose is het bedenken van de Penrose-betegeling. Dit is een heel bijzonder tegelpatroon: hoewel de tegels slechts twee verschillende vormen hebben, herhaalt het patroon zichzelf nooit.
In 1997 kwam de vrouw van Penrose, Vanessa Thomas, thuis met een rol toiletpapier. Daarop stond de Penrose-betegeling afgebeeld. Fabrikant Kleenex dacht hiermee slim te zijn. Doordat het patroon niet-herhalend is, kun je het papier compacter oprollen. Je krijgt namelijk nooit stukken die dikker zijn doordat op elke laag op dezelfde plek iets is afgebeeld.
Maar Kleenex kreeg al gauw spijt van de beslissing. Penrose had namelijk een patent op ‘zijn’ betegeling. Hij klaagde de fabrikant aan, en met succes: het wc-papier werd uit de handel genomen en vermoedelijk ontving Penrose een mooie vergoeding.
(Tekst: Yannick Fritschy)
Enig eindpunt
Kies een willekeurig getal. Is het even? Deel het dan door 2. Als het oneven is, vermenigvuldig je het met 3, en tel je er vervolgens 1 bij op. Met het getal dat je nu krijgt, volg je weer dezelfde regels. Ga zo door tot je bij 1 uitkomt.
Kom je inderdaad vanuit elk willekeurig begingetal uiteindelijk bij 1 uit?
De Duitse wiskundige Lothar Collatz formuleerde in 1937 het vermoeden dat je, als je deze regels volgt, na een eindig aantal stappen altijd bij 1 uitkomt (oké, het begingetal moet wel positief en geheel zijn). Helaas is dit vermoeden nog niet bewezen. Er zijn wel al heel veel begingetallen uitgeprobeerd: voor alle getallen onder de 268 komt de reeks inderdaad bij 1 uit. Maar een bewijs dat het voor álle getallen geldt, is er nog niet.
De getallen in zo’n reeks staan bekend als ‘hagelsteengetallen’. Ze gaan namelijk op en neer, net als een hagelsteen in een onweerswolk die nu eens door een opwaartse luchtstroom mee naar boven wordt genomen, en dan weer onder zijn eigen gewicht naar beneden valt, om uiteindelijk op de grond neer te komen.
(Tekst: Fenna van der Grient)
Rekentrein 2022
De rij van Fibonacci begint met 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Elke nieuwe term in de rij maak je door de laatste twee bij elkaar op te tellen. Maar je kunt ook het omgekeerde doen. Je begint bij 2021. Je kiest een tweede getal, bijvoorbeeld 1303. Vervolgens neem je het verschil 2021 – 1303 = 718, en opnieuw 1303 – 718, en zo door, zolang de getallen maar positief zijn.
Kun jij een zo lang mogelijke rekentrein maken met 2022?
Er is één oplossing voor de langste rekentrein: 2022 – 1249 – 773 – 476 – 297 – 179 – 118 – 61 – 57 – 4 – 53. Die bestaat uit elf termen. Hoe kon je deze oplossing vinden?
De rij van Fibonacci is gerelateerd aan de gulden snede φ, gelijk aan ½(√5 + 1). De opeenvolgende termen hebben quotiënten die steeds dichter bij φ komen te liggen. En dat geldt omgekeerd ook voor de rij hierboven. Waarachtig: 2022/1249 ≈ 1,6189 en φ ≈ 1,6180.
Zo kun je eenvoudig uitrekenen welke term in de langste rekentrein na 2022 moet komen. Want 2022/φ ≈ 1249,66. Dan hoef je alleen nog maar 1249 en 1250 te testen. Met (2022, 1250) maak je een rekentrein van tien termen. Wijk je nog meer van 1249 af, dan telt de rekentrein nog minder wagons.
(Tekst: Matthijs Coster, in samenwerking met tijdschrift Pythagoras)
Goed kijken
Alan, Ingrid en Christiaan zitten in het park. Alan kijkt naar Ingrid, en Ingrid kijkt naar Christiaan. Alan is getrouwd, maar Christiaan is niet getrouwd.
Kijkt een getrouwd persoon naar een ongetrouwd persoon?
a. Ja
b. Nee
c. Dat is niet te bepalen
Het lijkt alsof er niet genoeg informatie is. We weten namelijk niks over een mogelijk huwelijk van Ingrid. Toch maakt dat niet uit. Wat namelijk vaststaat, is dat ze ofwel ongetrouwd is, ofwel getrouwd. Als ze ongetrouwd is, kijkt de getrouwde Alan naar een ongetrouwde Ingrid. Als ze getrouwd is, kijkt zij als getrouwde naar de ongetrouwde Christiaan. Het goede antwoord is dus a.
(Tekst: Tamara Florijn)
Gelijkenis
Het gebruik van het isgelijkteken (=) zien we nu als vanzelfsprekend. Toch werd het teken in het verleden niet altijd gebruikt en moesten wiskundigen er telkens veel woorden aan vuil maken om gelijkenis weer te geven.
Hoe is uiteindelijk de handige ‘=’ ontstaan?
Er is niets dat meer gelijkenis vertoont dan twee parallelle lijnen van één lengte, dacht bedenker Robert Recorde. De Britse wis- en natuurkundige introduceerde het teken in 1557, omdat hij er genoeg van had om telkens ‘is gelijk aan’ te moeten schrijven.
De lijnen van het teken waren in zijn werk wel wat langer dan de lijnen van het teken dat we nu kennen. Hoewel de ‘=’ door ons misschien als meest logisch wordt gezien, was het teken niet meteen ingeburgerd. Zo waren er wiskundigen die kozen voor de variant met verticale strepen (II) of voor ‘æ’ van het Latijnse ‘aequalis’, dat ‘gelijk’ betekent.
(Tekst: Monique van den Boomen)
