Wiskundigen hebben bewezen wat de beste manier is om bollen te stapelen in 8 en 24 dimensies. Het is de eerste keer in twintig jaar dat dit probleem is opgelost voor een nieuwe dimensie.
‘Het zijn fantastische resultaten. Ik vind het geweldig dat dit eindelijk gelukt is’, zegt Thomas Hales van de universiteit van Pittsburgh, Pennsylvania. Hales schreef het bewijs voor de beste manier om bollen in drie dimensies te stapelen. ‘Het is hoog tijd dat we ontsnappen aan het driedimensionale getto en verder gaan naar 8 en 24 dimensies.’
Het stapelen van bollen roept een bedrieglijk eenvoudige vraag op: met welke rangschikking kun je het grootste aantal bollen in een beperkte ruimte plaatsen? Makkelijk te omschrijven, maar eindeloos ingewikkeld om te bewijzen.
Johannes Kepler stelde in 1611 dat de beste schikking voor driedimensionale bollen zoals kanonskogels of sinaasappelen een piramide is. Het zou nog tot 1998 duren voordat Thomas Hales erin slaagde bewijs daarvoor te publiceren. Pas zestien jaar daarna werd het met behulp van computerberekeningen formeel geverifieerd.
In de tussentijd hebben wiskundigen hun pijlen gericht op hogere dimensie-aantallen. ‘Elke dimensie is anders, zo blijkt’, zegt Henry Cohn van Microsoft Research New England in Cambridge, Massachusetts. ‘Ze hebben allemaal hun eigenaardigheden en in sommige dimensies gebeuren bizarre dingen. Dit maakt een veel complexer probleem dan je zou verwachten.’
Maryna Viazovska van de Humboldt-universiteit in Berlijn heeft nu bewezen dat het rooster E8 zich het best leent om bollen in 8 dimensies te stapelen.Vrijwel onmiddellijk sloeg ze de handen ineen met Cohn en andere onderzoekers om te bewijzen dat het verwante Leech-rooster het beste is in 24 dimensies.
Magische functies
Het is geen toeval dat deze dimensies de volgende waren die voor de bijl gingen. Om voor wiskundigen onverklaarbare redenen doen zulke roosters zich niet voor in andere dimensies. Toch worden ze alom beschouwd als de meest efficiënte schikkingen in de dimensies waarop ze van toepassing zijn. ‘Het zijn ongelooflijk goeie pakkingen’, zegt Cohn. ‘De bollen passen perfect in deze dimensies, het werkt op manieren die niet voorkomen in andere dimensies.’
In 2003 ontdekten Cohn en zijn collega’s een methode om te benaderen hoe dicht bij het beste antwoord deze pakkingen kwamen. Ze suggereerden ook dat er bepaalde ‘magische’ functies zouden bestaan die zouden bewijzen dat E8 en Leech de beste pakkingen waren. Ze konden ze alleen niet vinden.
‘En dat is nou net wat Maryna gedaan heeft’, zegt Cohn. ‘Zij heeft de functie in 8 dimensies gevonden met een ongelofelijk slimme methode. Zij is de echte held van dit verhaal.’
Ruis
Jammer genoeg is het niet duidelijk hoe dit bewijs uitgebreid kan worden naar nog meer dimensies. Maar het is meer dan een wiskundig spelletje. Het probleem van bollen stapelen in 24 dimensies kan toegepast worden in draadloze communicatie en is al toegepast om te communiceren met een ruimtevaartuig ver weg in het zonnestelsel.
Het blijkt dat het versturen van signalen over een door ruis geplaagd communicatiekanaal gelijkenissen vertoont met het probleem van bollen stapelen. Om zo veel mogelijk informatie te versturen, wil je veel kanalen tegelijk gebruiken. Maar je wilt niet dat ze elkaar overlappen, want dat kan leiden tot dubbelzinnigheid en fouten.
Als je elk kanaal voorstelt als een bol, dan kan het bollenprobleem je vertellen hoeveel kanalen je kunt gebruiken zonder dat ze overlappen.
‘Als je iemand op straat aanklampt en zegt: ‘Hé, wist je dat wiskundigen bollen in hoge dimensies bestuderen’, dan kijken ze je aan alsof je gestoord bent’, zegt Cohn. ‘Maar als je erbij vertelt dat ze dat doen om je mobiele telefoon beter te laten werken, dan klinkt het al een stuk redelijker.’
Altijd op de hoogte blijven van het laatste wetenschapsnieuws? Meld je nu aan voor de New Scientist nieuwsbrief.
Lees verder: